Question

20．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为$\frac{2}{3}$；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为S_n”．
（1）求S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率；
（2）记X=|S₅|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）当S₆=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p，则$p=\frac{2}{3}$，同时回答每个问题错误的概率为$\frac{1}{3}$，由此能求出S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．
（2）由X=|S₅|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）当S₆=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．
若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；
若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．
记回答每个问题正确的概率为p，则$p=\frac{2}{3}$，同时回答每个问题错误的概率为$\frac{1}{3}$…（3分）
故所求概率为：$P={（{\frac{2}{3}}）^2}×C_4^2×{（{\frac{2}{3}}）^2}×{（{\frac{1}{3}}）^2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×C_3^2×{（{\frac{2}{3}}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{16}{81}$…（6分）
（2）由X=|S₅|可知X的取值为10，30，50
可有$P（{X=10}）=C_5^3{（{\frac{2}{3}}）^3}{（{\frac{1}{3}}）^2}+C_5^2{（{\frac{2}{3}}）^2}{（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{40}{81}$，
$P（{X=30}）=C_5^4{（{\frac{2}{3}}）^4}{（{\frac{1}{3}}）^1}+C_5^1{（{\frac{2}{3}}）^1}{（{\frac{1}{3}}）^4}=\frac{30}{81}$，
$P（{X=50}）=C_5^5{（{\frac{2}{3}}）^5}+C_5^0{（{\frac{1}{3}}）^5}=\frac{11}{81}$…（9分）
故X的分布列为：

X	10	30	50
P	$\frac{40}{81}$	$\frac{30}{81}$	$\frac{11}{81}$

E（X）=$10×\frac{40}{81}+30×\frac{30}{81}+50×\frac{11}{81}$=$\frac{1850}{81}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．