Question

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），过椭圆C的一个焦点作与长轴垂直的直线，被椭圆C截得的弦长为1

（1）求椭圆C的标准方程

（2）已知点P为椭圆C上不同于顶点的一点，A，B为椭圆C的左，右顶点，直线AP，BP分别与直线x＝﹣6交于M，N两点设线段MN中点为Q，求的取最小值时点Q的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）Q点坐标为（﹣6，0）

【解析】

（1）由题意将点坐标以及椭圆的通径公式代入即可求得和的值，进而可得椭圆的方程；

（2）求出点和点坐标，表示出，根据基本不等式的性质，即可求得取最小值时点坐标.

（1）由题意可知，解得，

所以椭圆的方程；

（2）设P（x，y），kAPkBP，

令kAP＝k，则kBP（k≠0），

则直线AP：y＝k（x+2），

令x＝﹣6，得M（﹣6，﹣4k），直线BP：y，同理得N（﹣6，），

所以Q（﹣6，﹣2k），

所以32+（﹣2k＝4k228≥32，

当且仅当4k2，即k＝±时取等号，

此时Q点坐标为（﹣6，0）.