题目内容
【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，点G是棱CF上的动点．
（Ⅰ）当CG＝3时，求证EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为
，求线段CG的长．
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
【解析】
（1）通过证明直线AB∥EG，从而由线线平行推证线面平行；
（2）过A作DE垂线AO，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；
（3）由（2）中所建的直角坐标系，根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G点的坐标，即可求得CG的长度.
（Ⅰ）证明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，
故四边形CDEG为平行四边形，
∴CD∥EG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∴AB∥EG，
又EG平面ABF，AB平面ABF，
∴EG∥平面ABF．
（Ⅱ）过点A作AO⊥DE交DE于点O，过点O作OK∥CD交CF于点K
由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO平面ADE，
∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，
则D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），
F（3，3，0），
，D（0，﹣1，0），
∴
设平面ABCD的法向量为
，
即
，令z＝﹣1，则
，
，
∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，
（Ⅲ）由题意得，G（3，4λ﹣1，0）．
∴
，
设平面AEG的法向量为
，即
，
令y＝3，则
，x＝3﹣4λ，
∴
，
容易得平面AED的法向量为
，
故可得
，
解得
，
∴
，∴|CG|＝λ|CF|＝4λ
，
∵|CG|≤4，
∴．
