Question

已知函数f(x)=lnx-ax2-2x,

(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.

(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围.

(3)当a=-时,关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.

Answer 1

【解析】(1)由题意,得f′(x)=-(x>0),

因为x=2时,函数f(x)取得极值,所以f′(2)=0,解得a=-,经检验,符合题意.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题意,f′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax²+2x-1≤0在x>0时恒成立,则a≤=-1在x>0时恒成立,

即a≤(x>0),

当x=1时,-1取最小值-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].

(3)当a=-时,f(x)=-x+b,即x²-x+lnx-b=0.

设g(x)=x²-x+lnx-b(x>0),则g′(x)=,

当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表

x	(0,1)	1	(1,2)	2	(2,4)
g′(x)	+	0	-	0	+
g(x)	↗	极大	↘	极小	↗

所以g(x)_极小值=g(2)=ln2-b-2,g(x)_极大值=g(1)=-b-,

又g(4)=2ln2-b-2,

因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,

则解得ln2-2<b≤-,

所以实数b的取值范围是(ln2-2,-).