Question

已知cosα+cosβ+cosγ=0，且sinα+sinβ+sinγ=0．求cos2（α-β）+cos2（β-γ）+cos2（γ-α）的值．

Answer 1

解：sinα+sinβ=-sinγ，sin²α+sin²β+2sinαsinβ=sin²γ…①，
γcosα+cosβ=-cosγ，cos²α+cos²β+2cosαcosβ=cos²γ…②，
①+②得：2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，cos（α-β）=-，
同理可得：cos（β-γ）=-，cos（γ-α）=-；
cos2（α-β）+cos2（β-γ）+cos2（γ-α）=3-2（cos²（α-β）+cos²（β-γ）+cos²（γ-α））=0
分析：对已知式移项变形，然后平方和，利用两角差的余弦函数求出cos（α-β）=-，cos（β-γ）=-，cos（γ-α）=-，通过二倍角公式，即可求出所求数值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的恒等变形，两角和与差的三角函数，公式的正确应用的解题关键．