Question

5．椭圆b²x²+a²y²=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若∠ABF=90°，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 化椭圆方程为标准方程，根据∠ABF=90°可知AF²=AB²+BF²，转化成关于m，n，c的关系式，再根据m，n和c的关系进而求得m和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答 解：由b²x²+a²y²=1（a＞b＞0），得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{{b}^{2}}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{{a}^{2}}}=1$，
设${m}^{2}=\frac{1}{{b}^{2}}，{n}^{2}=\frac{1}{{a}^{2}}$，（m＞n＞0）．
则椭圆方程化为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞n＞0）．
作出椭圆图象如图：
则AF=m+c，AB=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，BF=$\sqrt{{n}^{2}+{c}^{2}}$．
由题意可得：AF²=AB²+BF²，
∴（m+c）²=m²+n²+n²+c²，
∵m²=n²+c²
∴m²-c²=mc，⇒e²+e-1=0．
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去）．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．