题目内容
14．
如图所示，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1内接于半径为$\sqrt{3}$的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为2．
分析 设AB=a，BB1=h，求出a2=6-2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h-2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．
解答 解：设AB=a，BB1=h，
则OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$+h2=3，
∴a2=6-2h2，
故正四棱柱的体积是V=a2h=6h-2h3，
∴V′=6-6h2，
当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜$\sqrt{3}$时，V′＜0，
∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．
故答案为：2．
点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，借助导数研究出四棱柱的体积最大，是解题的关键，根据题意建立适当的模型是解决一个实际问题的关键，学习时要注意积累此类题中模型的建立方法．
练习册系列答案
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7．设loga$\frac{2}{3}$＞1，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | 0＜a＜$\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$＜a＜1 | C． | 0＜a＜$\frac{2}{3}$或a＞1 | D． | a＞$\frac{2}{3}$ |
5．椭圆b2x2+a2y2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若∠ABF=90°，则椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ |
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过AC与BD1平行的平面必过（ ）
| A． | DD1的中点 | B． | DD1的三等分点 | C． | D1C1的中点 | D． | A1D1的中点 |