题目内容
定义|
|=a1a4-a2a3，若函数f（x）=|
|，给出下列四个命题：
①f（x）在区间[
，
]上是减函数；
②f（x）关于（
，0）中心对称；
③y=f（x）的表达式可改写成y=
cos（2x-
）-1；
④由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
其中正确命题的序号是 ．
|
|
①f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
②f（x）关于（
| 3π |
| 8 |
③y=f（x）的表达式可改写成y=
| 2 |
| π |
| 4 |
④由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
其中正确命题的序号是
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=
sin（2x+
）-1，
①由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间，即可判断；
②由于解得f（
）=-1，故不是函数的对称中心；
③由2x+
=
-（2x+
），由诱导公式即可证明命题正确；
④根据函数的周期T=
=π，函数值等于0的x之差的最小值为
，所以x1-x2必是
的整数倍，即可判断．
| 2 |
| π |
| 4 |
①由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
②由于解得f（
| 3π |
| 8 |
③由2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
④根据函数的周期T=
| 2π |
| 2 |
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：
解：f（x）=|
|=2sinxcosx-2sin2x=
sin（2x+
）-1，
①由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间为：[kπ+
，kπ+
]，k∈Z，故当k=0时，f（x）在区间[
，
]上是减函数，命题①正确；
②由于f（
）=
sin（2×
+
）-1=-1，故命题②错误；
③由于f（x）=
sin（2x+
）-1=
cos[
-（2x+
）]-1=
cos（2x-
）-1，故命题③正确；
④因为函数的周期T=
=π，函数值等于0的x之差的最小值为
，所以x1-x2必是
的整数倍．所以命题错误．
故答案为：①③．
|
| 2 |
| π |
| 4 |
①由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
②由于f（
| 3π |
| 8 |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 4 |
③由于f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
④因为函数的周期T=
| 2π |
| 2 |
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
故答案为：①③．
点评：本题主要考查了平面向量及应用，三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．
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| B、（-∞，1） | ||
C、（
| ||
| D、（1，+∞） |