Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算和三角形面积公式可得$bccosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}bcsinA$，从而解得tanA，即可求得A的值．
（2）由正弦定理可得$2R=\frac{4}{sinA}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}，B=\frac{2π}{3}-C$，周长：$a+b+c=4+8sin（C+\frac{π}{6}）$，结合范围$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$，
易得$bccosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}bcsinA$，
即$tanA=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）因为$A=\frac{π}{3}$，a=4，
所以$2R=\frac{4}{sinA}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}，B=\frac{2π}{3}-C$，
周长=$a+b+c=4+b+c=4+\frac{{8\sqrt{3}}}{3}（sinB+sinC）$，…（10分）
化简得$a+b+c=4+8sin（C+\frac{π}{6}）$，
因为$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以a+b+c∈（8，12]．…（14分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算和三角形面积公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．