Question

【题目】已知函数().

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证： .

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数正负，即可判断函数单调性；

（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可容易证明.

（1）定义域为，

当时，，

所以函数的单调递增区间为，递减区间为；

当时，令，得或，

当时，恒成立，

所以函数的单调递增区间为，无减区间；

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，无减区间；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）设，

，

由（1）可知，当时，，

且的单调递增区间为，递减区间为，

所以的单调递增区间为，递减区间为，

故，所以在上单调递增

又，

所以当时，，时，；

又当时，，时，

所以