题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，直线
：
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
为左顶点，过点
的直线交椭圆于
，两点，直线
，
分别交直线
于
，
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）以线段
为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）是，定点坐标为
或
【解析】
（1）根据相切得到
，根据离心率得到
，得到椭圆方程.
（2）设直线
的方程为
，点
、
的坐标分别为
，
，联立方程得到
，
，计算点
的坐标为
，点
的坐标为
，圆的方程可化为
，得到答案.
（1）根据题意：
，因为
，所以，
所以椭圆
的方程为.
（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，
把直线的方程代入椭圆方程化简得到
，
所以，，
所以
，
，
因为直线
的斜率
，所以直线的方程
，
所以点的坐标为，同理，点的坐标为，
故以
为直径的圆的方程为
，
又因为
，
，
所以圆的方程可化为，令
，则有
，
所以定点坐标为或.
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