Question

【题目】如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上， 都是正三角形.

（1）证明：直线∥面；

（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）通过证明，证得平面平面,由此证得平面.（2）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设出点的坐标，利用平面和平面的法向量计算二面角的余弦值，由此列方程解出点的坐标，确定为的中点.

（1）依题意，在平面中，，

又平面，平面 ①；同理，在平面中，

，平面 ②； 面， 面，面，面，

由①②可得，平面 平面.又面，所以直线∥面.

（2）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知，，，,.

设，.可得，设为平面的法向量，

由有，可取，

又面的法向量可取，所以，

所以，又，。

存在满足条件的点，为中点。