Question

3．已知圆O的方程为x²+y²=1，点P为x轴正半轴上一点，过点P作圆O的切线PA，PB，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 设P（t，0），利用圆的切线性质得出|PA|，sin∠APO．使用二倍角公式计算cos∠APB，代入向量的定义式得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$关于t的函数，利用不等式得出数量积的最小值．

解答 解：∵PA，PB是圆O的切线，
∴|PA|=|PB|，∠APO=∠BPO，
设P（t，0），则t＞1．
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{{t}^{2}-1}$，sin∠APO=$\frac{1}{t}$，
∴cos∠APB=1-2sin²∠APO=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|PA||PB|cos∠APB=（t²-1）（1-$\frac{2}{{t}^{2}}$）=t²-3+$\frac{2}{{t}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$-3．（当且仅当t²=$\frac{2}{{t}^{2}}$，即t²=$\sqrt{2}$时取等号）
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为2$\sqrt{2}-3$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，圆的切线的性质，属于中档题．