Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC-ccos（A+C）=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，且b=3，求a，c的值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（II）利用数量积运算性质、余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵bcosC-ccos（A+C）=3acosB，
由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∵sinA＞0．
∴cosB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=cacosB=2$，∴ac=6．
∴$b=\sqrt{{a^2}+{c^2}-2accosB}=3，即a+c=5$，
 解得a=2，c=3或a=3，c=2．

点评 本题考查了数量积运算性质、正弦定理余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．