Question

如图,直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.

(1)求证:AF∥平面BDE;

(2)求四面体BCDE的体积.

Answer 1

1)证明:取BD的中点P,

连接EP、FP,

则PF为中位线,PFDC,

又∵EADC,

∴EAPF.

故四边形AFPE是平行四边形,即AF∥EP.

∵EP⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,

∴AF∥平面BDE.

(2)解:∵BA⊥AC,平面ABC⊥平面ACDE且交于AC,

∴BA⊥平面ACDE,即BA就是四面体BCDE的高,

BA=AC=2.

∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD,

∴S_梯形ACDE=×(1+2)×2=3,

S_△ACE=×AE×AC=×1×2=1,

∴S_△CDE=3-1=2,

∴=·BA·S_△CDE

=×2×2=.