Question

已知函数f(x)=

3

2

-3sin2x+

3

sinxcosx，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称中心；
（2）试求满足不等式f(x)≥

3

2

的自变量x的集合．

Answer 1

分析：（1）先化简函数为一个角的一个三角函数名称（正弦或余弦）的形式，然后用

2π

|ω|

求最小正周期，
令其函数值等于0，求出x的值，求出对称中心坐标．
（2）求满足不等式f(x)≥

3

2

的自变量x的集合，就是利用函数在一个周期内，求满足不等式的解的x的范围，注意周期即可．

解答：解：函数f(x)=

3

2

-3sin2x+

3

sinxcosx=

3

2

(1-2sin2x)+

3

2

sin2x= 

3

(

3

2

cos2x+

1

2

sin2x)
=

3

sin(2x+

π

3

)，
（1） 函数f（x）的最小正周期是：π
当2x+

π

3

=kπ  k ∈Z时，及x=

kπ

2

-

π

6

时，f（x）=0
函数f（x）图象的对称中心（

kπ

2

-

π

6

，0） k∈Z．
（2）不等式f(x)≥

3

2

，即

3

sin(2x+

π

3

)≥

3

2

 即   sin(2x+

π

3

)≥

1

2

∴2kπ+

π

6

≤2x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

即k-

1

12

≤x≤k+

1

4

 ， k∈Z
满足不等式f(x)≥

3

2

的自变量x的集合{x|k-

1

12

≤x≤k+

1

4

， k∈Z}．

点评：本题考查三角函数函数的周期，函数的单调性等有关知识，是小综合题目，是中档题．