Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．由
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．所以b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由题设条件知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，于是，a_n=S_n-S_n-1=，由此可以求得a的取值范围是[-9，+∞）．
解答：解：（Ⅰ）依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，
由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．（4分）
因此，所求通项公式为b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．①（6分）
（Ⅱ）由①知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，
于是，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2=2×3^n-1+（a-3）2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）2^n-2=，
当n≥2时，?a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁．
综上，所求的a的取值范围是[-9，+∞）．（12分）
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．