Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．若将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的最大值及单调递减区间．
（2）（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=

3

，b+c=3，且f（A）=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：解三角形

分析：（1）利用辅助角公式和倍角公式将函数化简f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再根据题设条件求出ω=1，然后根据条件进行变换即可；
（2）（理）根据f（A）=2确定A=

π

3

，利用余弦定理建立方程求解b、c，代入面积公式计算即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+

3

sinωsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，
将x=

π

6

代入可得：ω=1．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
经过题设的变化得到的函数g（x）=sin（x-

π

6

）+

3

2

．
当x=2kπ+

2

3

π，k∈Z时，函数取得最大值

5

2

．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，
即x∈[2kπ+

2

3

π，2kπ+

5

3

π]，k∈Z为函数的单调递减区间．
（2）（理）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∵f（A）=2，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，∴A=

π

3

，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴b²+c²-bc=3，又b+c=3，
联立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：本题考查倍角公式、辅助角公式等三角恒等变换公式的应用，三角函数单调性，解三角形等基础知识的综合应用，属于中档题．