Question

（本小题满分14分）在数列中，是数列前项和，，当
（I）求证：数列是等差数列；
（II）设求数列的前项和；
（III）是否存在自然数，使得对任意自然数，都有成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）见解析（II）（III）存在，的最大值为，理由见解析

试题分析：（I）由已知得，当时，，
所以，又因为，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.                                 ……4分
（II ）由（I）知，，
所以.                                                                
所以，                           ……6分
所以

.           ……8分
（III）令，显然在上是增函数，
所以当时，取得最小值，
依题意可知，要使得对任意，都有，
只要，即，所以，
因为所以的最大值为.                                                  ……14分
点评：解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活处理.