Question

已知函数对任意的恒有成立.
(1)当b=0时，记若在）上为增函数，求c的取值范围；
(2)证明：当时，成立；
(3)若对满足条件的任意实数b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

Answer 1

（1）；（2）证明见解析；（3）．

试题分析：（1）首先要讨论题设的先决条件对恒成立，，即恒成立，这是二次不等式，由二次函数知识，有，化简之后有，从而．时，在上是增函数，我们用增函数的定义，即设，恒成立，分析后得出的范围；（2）
，问题变成证明在时恒成立，在的情况下，，而，可见，那当时，一定恒有，问题证毕；（3）由（2），在时，，这时柺验证不等式成立，当时，不等式可化为，因此要求的最大值或者它的值域，
，而，因此，由此的取值范围易得，的最小值也易得．
试题解析：（1）因为任意的恒有成立，
所以对任意的，即恒成立.
所以，从而.，即：.
当时，记（）
因为在上为增函数，所以任取，，
恒成立.
即任取，，成立，也就是成立.
所以，即的取值范围是.
（2）由（1）得，且，
所以，因此.
故当时，有.
即当时，.
（3）由（2）知，，
当时，有
设，则，
所以，由于的值域为，
因此当时，的取值范围是；
当时，由（1）知，.此时或0，，
从而恒成立.
综上所述，的最小值为.