题目内容
定义:对于函数,若存在非零常数,使函数对于定义域内的任意实数,都有,则称函数是广义周期函数,其中称为函数的广义周期,称为周距.
(1)证明函数是以2为广义周期的广义周期函数,并求出它的相应周距的值;
(2)试求一个函数,使(为常数,)为广义周期函数,并求出它的一个广义周期和周距;
(3)设函数是周期的周期函数,当函数在上的值域为时,求在上的最大值和最小值.
(1)证明函数是以2为广义周期的广义周期函数,并求出它的相应周距的值;
(2)试求一个函数,使(为常数,)为广义周期函数,并求出它的一个广义周期和周距;
(3)设函数是周期的周期函数,当函数在上的值域为时,求在上的最大值和最小值.
(1)2;(2),,;(3).
试题分析:本题是一个新定义概念问题,解决问题的关键是按照新定义把问题转化为我们熟悉的问题,(1)就是找到使为常数,考虑到,因此取,则有,符合题设,即得;(2)在(1)中求解时,可以想到一次函数就是广义周期函数,因此取,再考虑到正弦函数的周期性,取,代入新定义式子计算可得;(3)首先,函数应该是广义周期函数,由新定义可求得一个广义周期是,周距,由于,可见在区间上取得最小值,在上取得最大值,而当时,由上面结论可得,最小值为,当时,,从而最大值为.
试题解析:(1),
,(非零常数)
所以函数是广义周期函数,它的周距为2. (4分)
(2)设,则
(非零常数) 所以是广义周期函数,且. ( 9分)
(3),
所以是广义周期函数,且 . (10分)
设满足,
由得:
,
又知道在区间上的最小值是在上获得的,而,所以在上的最小值为. ( 13分)
由得得:
,
又知道在区间上的最大值是在上获得的,
而,所以在上的最大值为23. (16分)
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