Question

9．设f（x）=log₃x．
（1）若$g（x）=f（{\frac{x+1}{x-1}}）$，判断并证明函数y=g（x）的奇偶性；
（2）令$h（x）=f（{\sqrt{x}}）•f（{3x}）$，x∈[3，27]，当x取何值时h（x）取得最小值，最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质，先求出定义域，再根据奇偶性的定义即可判断，
（2）先化简h（x），再t=log₃x，3≤x≤27，则1≤t≤3根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：（1）$g（x）=f（{\frac{x+1}{x-1}}）={log_3}（{\frac{x+1}{x-1}}）$，
∴$g（x）={log_3}（{\frac{x+1}{x-1}}）$的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
$g（{-x}）={log_3}（{\frac{-x+1}{-x-1}}）={log_3}（{\frac{x-1}{x+1}}）$=${log_3}{（{\frac{x+1}{x-1}}）^{-1}}=-{log_3}（{\frac{x+1}{x-1}}）=-g（x）$
∴函数y=g（x）为奇函数．
（2）∵$h（x）={log_3}\sqrt{x}•{log_3}（{3x}）=\frac{1}{2}{log_3}x（{1+{{log}_3}x}）$，3≤x≤27
设t=log₃x，3≤x≤27，∴1≤t≤3
令$y=\frac{1}{2}t（{1+t}）$，1≤t≤3
当t=1时，即x=3时，y_min=1
∴当x=3时h（x）取得最小值，最小值为1．

点评 本题考查了二次函数的性质和对数函数的定义域和奇函数的定义，属于中档题