Question

13．如图，AC是⊙O的直径，ABCD是圆内接四边形，DE与⊙O相切于点D，AC的延长线交DE于点E，BC的延长线交DE于点F，且AB∥DE．
（Ⅰ）求证：CD平分∠ACF．
（Ⅱ）若AB=3EF，⊙O的半径为1，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明∠ACD=∠DCF，即可证明：CD平分∠ACF．
（Ⅱ）求出AC=2，CE=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{3}$，由切割线定理得DE²=CE•AE，即可求线段DE的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°①，
∵AB∥DE，
∴∠CFD=∠ABC=90°，
∴∠CDE+∠DCF=90°②，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠CDE=∠CAD③
由①②③可得，∠ACD=∠DCF，
∴CD平分∠ACF．
（Ⅱ）解：∵AB∥EF，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵⊙O的半径为1，
∴AC=2，CE=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{3}$，
由切割线定理得DE²=CE•AE=$\frac{2}{3}×（\frac{2}{3}+2）$=$\frac{16}{9}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．