Question

7．（1）证明三倍角的余弦分式：cos3θ=4cos²θ-3cosθ；
（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．

Answer 1

分析 （1）将cos3θ化简为cos（2θ+θ），利用两角和差的公式和二倍角公式化简即可证得．
（2）利用二倍角公式化简，和同角三角关系式，转化为二次函数即可求sin18°的值．

解答 解：（1）证明：cos3θ=cos（2θ+θ）=cos2θcosθ-sin2θsinθ
=（2cos²θ-1）cosθ-2sin²θcosθ=2cos³θ-cosθ-2（1-cos²θ）cosθ=4cos³θ-3cosθ．
（2）sin36°=cos54°，
∵sin36°=2sin18°cos18°
∵cos54°=4cos³18°-3cos18°．
∴2sin18°=4cos²18°-3．
则sin18°=2cos²18°-$\frac{3}{2}$．
2（1-sin²18°）-sin18°-$\frac{3}{2}$=0，
令sin18°=t，（t＞0）
则有：2-2t²-t-$\frac{3}{2}$=0，
解得：t=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即sin18°的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

点评 本题考察了二倍角公式的运用能力和化简计算能力．