Question

(文)  已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C₁的方程；（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程； （3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

  （1）（2）

解析:

：（1）由                             （2分）

    由直线

所以椭圆的方程是  （4分）

   （2）由条件，知|MF₂|=|MP|．即动点M到定点F₂的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是．（8分）

   （3）由（1），得圆O的方程是

设得    （10分）

则

由 ①　（12分）

因为

所以  　 ②　（13分）由A、R、S三点不共线，知．　③

由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（14分）

（注：其它解法相应给分）．