Question

1．在极坐标系中，圆C是以点$C（{2，\frac{π}{6}}）$为圆心，2为半径的圆．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）圆C在矩阵$A=[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{l}0\\ 2\end{array}]$的作用下变换为曲线C₁，求曲线C₁的方程；
（3）求圆C被直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程转化成直角坐标系方程，求得C点坐标，半径为2，写出圆C的直角坐标方程；
（2）根据矩阵的变换$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{y′}{2}}\end{array}\right.$，将x′及y′代入圆C方程，即可求得曲线C₁的方程；
（3）将参数方程转化为普通方程，l过圆心，弦长就等于直径，即可求得所截得的弦长．

解答 解：（1）在平面直角坐标系中，$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，C点坐标为：$C（{\sqrt{3}，1}）$…2分
圆C的直角坐标方程：${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$…4分
（2）由$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{y′}{2}}\end{array}\right.$，
将x′及y′代入圆C方程整理得：$4{x^2}+{y^2}-8\sqrt{3}x-4y=0$…10分
（3）将直线的参数方程转化成普通方程得：
直线l：$x-\sqrt{3}y=0$，过圆心，
所以弦长为4．…14分

点评 本题考查极坐标与直角坐标的转化，直线参数方程转化普通方程，矩阵的变换，考查转化思想，属于基础题．