Question

18．设函数f（x）=|4x-1|+|x-m|．
（1）若m=2，解不等式f（x）＞12；
（2）若f（x）+3|x-m|＞8对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，当x＞2时，当$\frac{1}{4}$≤x≤2时，当x＜$\frac{1}{4}$时，去掉绝对值，解不等式，再求并集，即可得到所求解集；
（2）由题意可得|4x-1|+4|x-m|＞8对一切实数x均成立，g（x）=|4x-1|+4|x-m|≥|（4x-1）-（4x-4m）|=|4m-1|，可得g（x）的最小值，解|4m-1|＞8，即可得到所求范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＞12，即为|4x-1|+|x-2|＞12，
当x＞2时，4x-1+x-2＞12，即x＞3，即为x＞3；
当$\frac{1}{4}$≤x≤2时，4x-1+2-x＞12，即x＞$\frac{11}{3}$，即为x∈∅；
当x＜$\frac{1}{4}$时，1-4x+2-x＞12，即x＜-$\frac{9}{5}$，即为x＜-$\frac{9}{5}$，
综上可得，原不等式的解集为（-∞，-$\frac{9}{5}$）∪（3，+∞）；
（2）f（x）+3|x-m|＞8对一切实数x均成立，
即为|4x-1|+4|x-m|＞8，
由g（x）=|4x-1|+4|x-m|≥|（4x-1）-（4x-4m）|=|4m-1|，
当且仅当（4x-1）（4x-4m）≤0时，g（x）取得最小值|4m-1|．
可得|4m-1|＞8，
解得m＞$\frac{9}{4}$或m＜-$\frac{7}{4}$．
则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{7}{4}$）∪（$\frac{9}{4}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，求得最值，考查运算能力，属于中档题．