Question

【题目】已知函数 ，

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；

（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间,单调减区间为,;（2）有2个零点，证明见解析;（3）

【解析】

对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;

函数有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;

记函数,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的,使，求得为分段函数,求导后分情况讨论：①当时，利用函数的单调性将问题转化为的问题;②当时，当时,在上恒成立，从而求得的取值范围.

（1）由题意知,，列表如下：

		0		2
		0
		极小值		极大值

所以函数的单调增区间为，单调减区间为,.

（2）函数有2个零点.证明如下：

因为时，所以，

因为,所以在恒成立,在上单调递增，

由，，且在上单调递增且连续知,

函数在上仅有一个零点，

由（1）可得时,，

即，故时，，

所以，

由得，平方得，所以，

因为，所以在上恒成立,

所以函数在上单调递减,因为,所以,

由，，且在上单调递减且连续得

在上仅有一个零点，

综上可知：函数有2个零点.

（3）记函数，下面考察的符号．

求导得．

当时恒成立．

当时，因为，

所以．

∴在上恒成立，故在上单调递减．

∵，∴，又因为在上连续，

所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的，使，

∴,

因为,所以

∴

因为函数在上单调递增,,

所以在，上恒成立．

①当时，在上恒成立，即在上恒成立．

记，则，

当变化时，，变化情况如下表：

		极小值

∴，

故，即．

②当时，，当时，在上恒成立．

综合（1）（2）知， 实数的取值范围是．