题目内容
【题目】如图，正四棱锥
的底边长为2，侧棱长为
，
为
上一点，且
，点
，
分别为
，
上的点，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求锐二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）由正方形的性质知
，又由相似三角形可得
，
再结合面面平行的判定定理即可证明；
（2）由已知条件可推导出
，
，
两两垂直，建立空间直角坐标系，
求出平面的法向量，利用公式即可求锐二面角的余弦值.
（1）
，且
，
四边形
为平行四边形，
，又
平面
，
平面，
，
，
，
，，又
平面，
平面，
，
平面
，
，
平面
平面；
（2）如图，连接
，
相交于点
，连接
，
四棱锥
为正四棱锥，
，
，
又
，∴
，且
，
同理可得
，∴，，两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
令平面
的法向量为
，
则
即
解得
取
，则
，
，
故
，
同理可得平面的一个法向量
，
∴
，
锐二面角
的余弦值为.
【题目】在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
优秀 | 合格 | 总计 | |
男生 | 6 | ||
女生 | 18 | ||
合计 | 60 |
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为
.
（1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：
| 0.25 | 0.10 | 0.025 |
| 1.323 | 2.706 | 5.024 |
【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“
”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为
五个等级，确定各等级人数所占比例分别为
，
，，
，
，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将
至
等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级 |
|
|
|
|
|
比例 |
|
|
|
|
|
赋分区间 |
|
|
|
|
|
而等比例转换法是通过公式计算：
其中
，
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分，
表示原始分，
表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
考生科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
化学 | 75分 |
|
|
|
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：
，
所以
（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为
，求的分布列和期望.
