Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上下两个顶点分别为B，C，若左焦点是△ABC的垂心，则椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆的性质求得F₁，A，B和C点坐标，根据三角形垂心的性质可知：BF₁⊥AC，即${k}_{B{F}_{1}}$•k_AC=-1，根据斜率公式分别求得${k}_{B{F}_{1}}$和k_AC，求得a与bc的关系，根据椭圆离心率的性质即可求得e的值．

解答 解：设左焦点F₁（-c，0），A（-a，0），B（0，b），C（0，-b），
由左焦点是△ABC的垂心，
∴BF₁⊥AC，
∴${k}_{B{F}_{1}}$•k_AC=-1，
${k}_{B{F}_{1}}$=$\frac{0-b}{-c-0}$=$\frac{b}{c}$，k_AC=$\frac{-b-0}{0+a}$=-$\frac{b}{a}$
∴$\frac{b}{c}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，整理得：b²=ac，
由椭圆的性质可知：a²=b²+c²，整理得：c²+ac-a²=0，同除以a²可知
∴e²+e-1=0，解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，三角形垂心的性质，斜率公式，考查计算能力，属于中档题．