Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且nS_n+（n+2）a_n=4n，则S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 nS_n+（n+2）a_n=4n，可得S_n+$（1+\frac{2}{n}）$a_n=4，当n=1时，解得a₁=1．当n≥2时，S_n-1+$（1+\frac{2}{n-1}）{a}_{n-1}$=4，可得：$2（1+\frac{1}{n}）$a_n=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{2（n-1）}$，利用“累乘求积”可得a_n，代入nS_n+（n+2）a_n=4n，即可得出．

解答 解：∵nS_n+（n+2）a_n=4n，
∴S_n+$（1+\frac{2}{n}）$a_n=4，
∴当n=1时，a₁+3a₁=4，解得a₁=1．
当n≥2时，S_n-1+$（1+\frac{2}{n-1}）{a}_{n-1}$=4，
化为：$2（1+\frac{1}{n}）$a_n=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{2（n-1）}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$$•\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$×1
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
代入nS_n+（n+2）a_n=4n，
∴nS_n+$\frac{n（n+2）}{{2}^{n-1}}$=4n，
∴S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．