Question

16．设O是△ABC三边中垂线的交点，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b²-2b+c²=O，求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的最小值．

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD，可得OD⊥BC，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}$，可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}）$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
取BC的中点D，连接OD，AD．
则OD⊥BC，
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}$=0．
又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}）$•$\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（{b}^{2}-{c}^{2}）$
=b²-b
=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}$，当且仅当b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的最小值为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了垂经定理、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．