已知点R(x0.y0)在D:y2=2px上.以R为切点的D的切线的斜率为$\frac{P}{{y} {0}}$.过Γ外一点A作Γ的切线AB.AC.点B.C为切点.作平行于BC的切线MN.点M.N分别是与AB.AC的交点．(1)用B.C的纵坐标s.t表示直线BC的斜率,(2)设三角形△ABC面积为S.若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切线切点的连线)围成的三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知点R（x₀，y₀）在D：y²=2px上，以R为切点的D的切线的斜率为$\frac{P}{{y}_{0}}$，过Γ外一点A（不在x轴上）作Γ的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线MN（切点为D），点M、N分别是与AB、AC的交点（如图）．
（1）用B、C的纵坐标s、t表示直线BC的斜率；
（2）设三角形△ABC面积为S，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如△AMN，再由M、N作“切线三角形”，并依这样的方法不断作切线三角形…，试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及BC所围成的阴影部分的面积T．

分析（1）根据题意可知设出直线方程，由切线斜率的定义即可表示出直线BC的斜率；
（2）求得切线的斜率，可得D的坐标，求得直线BC的方程，运用中点坐标公式可得A关于D的对称点在直线BC上，求得D为AE的中点，根据MN为三角形ABC的中位线，且E为BC的中点，D为MN的中点，求得三角形ABC的面积，再由三角形的面积之比与对应边的比的关系，可得由抛物线外作出的“切线三角形”的面积构成以$\frac{1}{4}$S为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，运用无穷递缩等比数列的求和公式，可得所有面积和，即可得到所求面积T．

解答解：（1）设切线方程为y-y₀=$\frac{p}{{y}_{0}}$（x-x₀），
k_BC=$\frac{{y}_{B}-{y}_{C}}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=$\frac{2p}{s+t}$，
（2）设D（μ，v），则MN∥BC，
∴$\frac{p}{v}$=$\frac{2p}{s+t}$，（s，t为B，C的纵坐标），
v=$\frac{s+t}{2}$D（$\frac{（s+t）^{2}}{8p}$，$\frac{s+t}{2}$），
设A（a，b）利用切线方程得：
$\left\{\begin{array}{l}{b-t=\frac{p}{t}（a-\frac{{t}^{2}}{2p}）}\\{b-s=\frac{p}{s}（a-\frac{{s}^{2}}{2p}）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{bt=ap+\frac{{t}^{2}}{2}}\\{bt=ap-\frac{{s}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，两式相减得：
b=$\frac{t+s}{2}$，a=$\frac{st}{2p}$，A（$\frac{st}{2p}$，$\frac{t+s}{2}$），
由前面计算可知：AD平行于横轴，可得y_E=$\frac{t+s}{2}$，
BC：y-t=$\frac{2p}{s+t}$（x-$\frac{{t}^{2}}{2p}$），将y_E=$\frac{t+s}{2}$，代入x_E=$\frac{{s}^{2}+{t}^{2}}{4p}$，
由x_A+x_E=$\frac{st}{2p}$+$\frac{{s}^{2}+{t}^{2}}{4p}$=$\frac{（s+t）^{2}}{4p}$=2x_D，
所以D为AE的中点；
设：S_△AMN=R，由上可知R=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{S}{4}$，
由M，N确定的确定的切线三角形的面积为$\frac{1}{4}$×$\frac{R}{2}$=$\frac{R}{8}$，
后一个切线三角形的面积是前一切线三角形面积的$\frac{1}{8}$，
由此继续下去可得算式：
S_△ABC=S=T+R+2$\frac{R}{8}$+4$\frac{R}{64}$+8$\frac{R}{512}$+…+，
=T+R+$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{16}$+$\frac{R}{64}$+…，
∴T=S-$\frac{R}{1-\frac{1}{4}}$=S-$\frac{4}{3}$R=$\frac{2}{3}$S．