Question

11．平面内有一个△ABC和一点O（如图），线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
（1）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{EL}$，$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{GN}$；
（2）证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．

Answer 1

分析 （1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到$\overrightarrow{EL}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，从而同理可以用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$分别表示出$\overrightarrow{FM}，\overrightarrow{GN}$；
（2）可连接EN，NL，LG，GE，根据三角形中位线的性质及平行四边形的定义便可得到四边形NLGE为平行四边形，从而对角线EL，GN交于一点且互相平分，而同理可证明EL，FM相交于一点且互相平分，从而便得出线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．

解答 解：（1）$\overrightarrow{EL}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OL}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{2}（-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$；
同理，$\overrightarrow{FM}=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）$，$\overrightarrow{GN}=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
（2）证明：如图，连接EN，NL，LG，GE，根据条件，则：
NE∥BO，且$NE=\frac{1}{2}BO$，LG∥BO，且$LG=\frac{1}{2}BO$；
∴NE∥LG，且NE=LG；
∴四边形NLGE为平行四边形；
∴线段El，GN交于一点且互相平分；
同理，线段EL，FM交于一点且互相平分；
∴线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．

点评 考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的概念，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分．