Question

20．如图已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC．
（I）求证：PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求几何体P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在线段BC上，取BG=GF，连接PG，DG，利用中位线性质证明GD∥AF，EF∥PG，得到平面PGD∥平面AEF，从而得到PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求出三棱锥P-AFC的体积，结合E为PC中点，可得P-AEF的体积等于三棱锥P-AFC的体积的一半得答案．

解答 （Ⅰ）证明：如图
在线段BC上，取BG=GF，连接PG，DG，
在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF，
在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG，
又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF，
则PD∥平面AEF；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，
∴${V}_{P-AFC}=\frac{1}{3}{V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{9}$，
又E为PC的中点，∴${V}_{P-AEF}=\frac{1}{2}{V}_{P-AFC}=\frac{1}{2}×\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，在证明线面平行时，有时常采用转化为证面面平行，进一步得到线面平行，是中档题．