题目内容
已知平面向量
=（
，-1），
=（
，
）．
（1）证明：|
+
|=|
-
|；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使
=
+（t2-3）
，
=-k
+t
，且
⊥
，试求函数关系式k=f（t）；
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况．
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（1）证明：|
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使
| x |
| a |
| b |
| y |
| a |
| b |
| x |
| y |
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况．
分析：（1）利用向量的运算和模的计算公式即可得出；
（2）利用向量的数量积运算、垂直与数量积的关系即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性、极值即可得出．
（2）利用向量的数量积运算、垂直与数量积的关系即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性、极值即可得出．
解答：解：（1）∵
+
=(
+
，
-1)，
-
=(
-
，-1-
)．
∴|
+
|=
=
，|
-
|=
=
．
∴|
+
|=|
-
|；
（2）|
|=
=2，|
|=
=1，
•
=
×
-1×
=0．
∵
⊥
，∴
•
=[
+(t2-3)
]•(k
+t
)=k
2+t(t2-3)
2=2k+t(t2-3)=0．
∴k=-
t(t2-3)．
（3）由（2）可知：f（t）=-
t3+
t，
f′(t)=-
t2+
=-
(t+1)(t-1)，令f′（x）=0，解得t=±1．
列表如下：
由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极小值f（-1）=-1；
当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=1．
因此：①当k=±1时，方程f（t）-k=0由两解；
②当-1＜k＜1时，方程f（t）-k=0由3个解；
③当k＜-1或1＜k时，方程f（t）-k=0由1个解．
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴|
| a |
| b |
(
|
| 5 |
| a |
| b |
(
|
| 5 |
∴|
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）|
| a |
(
|
| b |
(
|
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| x |
| y |
| x |
| y |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴k=-
| 1 |
| 2 |
（3）由（2）可知：f（t）=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
f′(t)=-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
列表如下：
由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极小值f（-1）=-1；
当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=1．
因此：①当k=±1时，方程f（t）-k=0由两解；
②当-1＜k＜1时，方程f（t）-k=0由3个解；
③当k＜-1或1＜k时，方程f（t）-k=0由1个解．
点评：熟练掌握向量的运算和模的计算公式、向量的数量积运算、垂直与数量积的关系、利用导数研究函数的单调性、极值等是解题的关键．
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