题目内容

已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（I）若存在实数k和t，使得
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+
b
，且
x
⊥
y
，试求函数的关系式k=f（t）；
（II）根据（I）结论，确定k=f（t）的单调区间．
分析：（I）利用向量模的坐标公式求出向量的模，利用向量垂直的充要条件列出方程，将方程变形表示出k．
（II）求出函数f（t）的导数，令导数大于0，求出不等式的解集即为单调递增区间；令导函数小于0求出不等式的解集为单调递减区间．
解答：解：（I）∵
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
a
•
b
=
3
×
1
2
-1×
3
2
=0 
∴
a
⊥
b

∵
x
⊥
y
，∴
x
•
y
=0
即-k|
a
|2+t(t2-3)|
b
|2=0，
∴t3-3t-4k=0
即k=
1
4
t3-
3
4
t

（II）由（I）知，k=f（t）=
1
4
t3-
3
4
t，
∴k′=
3
4
t2-
3
4
=
3
4
(t+1)(t-1)
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜-1或t＞1
故k=f（t）的单调递减区间是[-1，1]；
单调递增区间是（-∞，-1]，[1，+∞）．
点评：本题考查向量模的坐标公式；向量垂直的充要条件；利用导数求函数的单调区间．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）证明：|
a
+
b
|=|
a
-
b
|； 
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，试求函数关系式k=f（t）；
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况．
已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）证明：
a
⊥
b
；
（2）若存在实数k和t，使得x=
a
+（t2-3）
b
，y=-k
a
+t
b
，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．
（2014•江门模拟）已知平面向量
a
=(λ，-3)，
b
=(4，-2)，若
a
⊥
b
，则实数λ=（　　）
已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）若存在实数k和t，满足
x
=（t-2）
a
+（t2-t-5）
b
，
y
=-k
a
+4
b
，且
x
⊥
y
，求出k关于t的关系式k=f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

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