在“新零售模式的背景下.某大型零售公司推广线下分店.计划在S市的A区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数.该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数.y表示这x个分店的年收入之和．x(个)23456y2.5344.56(1)该公司已经过初步判断.可用线性回归模型拟合y与x的关系.求y� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．

x（个）	2	3	4	5	6
y（百万元）	2.5	3	4	4.5	6

（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程$y=\hat bx+a$；
（2）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与x，y之间的关系为z=y-0.05x²-1.4，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大？
（参考公式：$y=\hat bx+a$，其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，a=\overline y-\hat b\overline x$）

分析（1）结合所给数据首先求得样本中心点，然后结合回归方程的计算公式求得 $\widehat{b}，\hat{a}$，据此即可求得回归方程；
（2）结合（1）中的结果求得利润函数，然后结合函数的解析式和对勾函数的性质即可求得所需开设分店的个数．

解答解：（1）由表中数据和参考数据得：$\overline x=4，\overline y=4$，
${\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）}^2}=10，\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}=8.5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{8.5}{10}=0.85$
∴$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=4-4×0.85=0.6$，
∴y=0.85x+0.6．
（2）由题意，可知总收入的预报值$\hat z$与x之间的关系为：$\hat z=-0.05{x^2}+0.85x-0.8$，
设该区每个分店的平均利润为t，则$t=\frac{z}{x}$，
故t的预报值$\hat t$与x之间的关系为$\hat t=-0.05x-\frac{0.8}{x}+0.85=-0.01（{5x+\frac{80}{x}}）+0.85$，
则当x=4时，$\hat t$取到最大值，
故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．

点评本题考查回归方程的求解，函数的实际应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．