Question

9．已知圆心为（2，3）的圆C上的点到直线x+y-3=0的最短距离为$\sqrt{2}$-1．
（1）求圆C的方程；
（2）过点N（-1，0）的直线l与圆C交于P，Q两点，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=12，其中O为坐标原点，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆C上的点到直线x+y-3=0的最短距离为$\sqrt{2}$-1，可得半径r=圆心到直线的距离-最短距离．可得圆C的方程；
（2）设而不求的思想，直线的斜率存在时，设直线l的方程，设出P，Q两点的坐标，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=12，结合韦达定理，可得k的值，即可求△OPQ的面积．

解答 解：（1）设圆的方程是（x-2）²+（y-3）²=r²，（r＞0），
∵圆心为（2，3）到直线x+y-3=0的距离d₁=$\sqrt{2}$，
且圆心为（2，3）的圆C上的点到直线x+y-3=0的最短距离为$\sqrt{2}$-1，
故r=1，
故圆的方程是（x-2）²+（y-3）²=1；
（2）当直线l的斜率不存在或斜率是0时，直线和圆相离，不合题意，
从而直线的斜率必存在且不是0，
设直线l的方程为x=my-1，且P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{（x-2）}^{2}{+（y-3）}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x化简得：
（m²+1）y²-（6m+6）y+17=0，
故$\left\{\begin{array}{l}{△=3{6（m+1）}^{2}-68{（m}^{2}+1）＞0}\\{{y}_{1}{+y}_{2}=\frac{6m+6}{{m}^{2}+1}}\\{{{y}_{1}y}_{2}=\frac{17}{{m}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
∴x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=$\frac{1{2m}^{2}-6m+1}{{m}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1{2m}^{2}-6m+18}{{m}^{2}+1}$=12，解得：m=1，满足△＞0，
故直线l的方程是：x=y-1即x-y+1=0，
故该直线过圆心C（2，3），
∴|PQ|=2r=2，
又原点到直线l的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故△OPQ的面积是S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是一道中档题．