Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_2}（{{x^2}-2ax+3a}），x≥1}\\{1-{x^2}，x＜1}\end{array}$的值域为R，则常数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，1]∪[2，3）
• B． （-∞，1]∪[2，+∞）
• C． （-1，1）∪[2，3）
• D． （-∞，0]{1}∪[2，3）

Answer 1

分析 利用分段函数求解分段求解函数的值域，然后列出不等式求解即可．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_2}（{{x^2}-2ax+3a}），x≥1}\\{1-{x^2}，x＜1}\end{array}$，
当x＜1时，f（x）=1-x²≤1，
∴x≥1时，f（x）=$lo{g_2}（{{x^2}-2ax+3a}），x≥1$的最小值小于1，
因为y=x²-2ax+3a的开口向上，对称轴为x=a，
若a≤1，当x≥1时，函数是增函数，最小值为f（1）=log₂（1+a），可得log₂（1+a）≤1，解得a∈（-1，1]；
若a＞1，最小值为$f（a）=lo{g_2}（{3a-{a^2}}）$，可得$lo{g_2}（{3a-{a^2}}）≤1$，解得a∈[2，3），
常数a的取值范围是（-1，1]∪[2，3），
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的值域，考查转化思想以及计算能力．