Question

8．若x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$=1，求xy及x+y的最小值，何时取到？

Answer 1

分析 利用已知条件利用基本不等式求出xy的最小值，转化x+y=（x+y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$）化简后利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴1=$\frac{2}{x}+\frac{8}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{8}{y}}$，得xy≥64，
当且仅当$\frac{2}{x}=\frac{8}{y}=\frac{1}{2}$即x=4，y=16时取等号．
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{y}{x}$，$\frac{x}{y}$＞0．
∴x+y=（x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{8}{y}$）=10+$\frac{2y}{x}+\frac{8x}{y}$≥10+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{8x}{y}}$=18．
当且仅当$\frac{2y}{x}=\frac{8x}{y}=4$，即x=6，y=12，
∴x=6，y=12时，x+y有最小值18．

点评 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．