Question

17．已知函数f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x+1
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式化为f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$，从而求出函数的最小正周期；（2）由（1）结合正弦函数的单调性解不等式，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f（x）=cos2x+sin2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$…（4分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]$（k∈Z）； …（9分）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z得$\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间是$[\frac{π}{8}+kπ，\frac{5π}{8}+kπ]$（k∈Z）．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，函数的周期性，考查函数的单调性问题，是一道中档题．