Question

已知函数f（x）=a^x+log_ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为log_a2+6，则a=

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数解析式判断当a＞1时，函数f（x）=a^x+log_ax，单调递增，当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x+log_ax单调递减，可得出f（1）=a，f（2）=a²+log_a2，
其中有一个最大值，一个最小值，即可得出a+a²+log_a2=log_a2+6，求出a即可．

解答： 解：∵函数f（x）=a^x+log_ax（a＞0且a≠1）
f（1）=a，f（2）=a²+log_a2，
∴当a＞1时，函数f（x）=a^x+log_ax，单调递增，
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x+log_ax单调递减，
∴在[1，2]上的最大值与最小值之和为：a+a²+log_a2=log_a2+6，
∴a²+a=6，a=2，a=-3（舍去）
故答案为：2

点评：本题考查了指数函数，对数函数的单调性，解决最值问题，属于容易题．