题目内容

设双曲线Γ的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，斜率为k的直线l过双曲线Γ的右焦点且交双曲线Γ于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率为k1，k2．
（1）若双曲线Γ的一条渐近线的倾斜角为60°，顶点到渐近线的距离为
3
2
，求双曲线Γ的方程；
（2）在（1）中双曲线Γ的方程的条件下，求k1•k2的值（计算的结果用k表示）；
（3）若点M为双曲线Γ上的一点，且存在锐角θ使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，问此时k1•k2是否可能为定值？并说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题意列方程组
b
a
=tan60°
ab
a2+b2
=
3
2
c2=a2+b2
，从而求出双曲线的方程；
（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），与x2-
y2
3
=1联立消y可得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，利用韦达定理简化运算；
（3）设A（xA，yA），B（xB，yB），则
x
2
A
a2
-
y
2
A
b
2
 
=1，
x
2
B
a2
-
y
2
B
b2
=1；又设M（x，y），
x=xAcosθ+xBsinθ
y=yAcosθ+yBsinθ
，代入双曲线方程化简求解．
解答： 解：（1）由题意得，
b
a
=tan60°
ab
a2+b2
=
3
2
c2=a2+b2
，
解得，a2=1，b2=3，
故双曲线的方程为x2-
y2
3
=1；
（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2）；
与x2-
y2
3
=1联立消y可得，
（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
故3-k2≠0，且△=16（k2）2+4（3-k2）（4k2+3）＞0，
k≠±
3
，
由韦达定理可得，
xA+xB=
-4k2
3-k2
，xAxB=
-4k2-3
3-k2
，
yAyB=k2[xAxB-2（xA+xB）+4]
=k2[
-4k2-3
3-k2
-2
-4k2
3-k2
+4]，
=
9k2
3-k2
，
则k1•k2=
yAyB
xAxB
=
9k2
3-k2
÷
-4k2-3
3-k2

=
9k2
-4k2-3
，（k≠±
3
）；
（3）设A（xA，yA），B（xB，yB），
则
x
2
A
a2
-
y
2
A
b
2
 
=1，
x
2
B
a2
-
y
2
B
b2
=1；
又设M（x，y），
则由
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
得，
x=xAcosθ+xBsinθ
y=yAcosθ+yBsinθ
，
则
(xAcosθ+xBsinθ)2
a2
-
(yAcosθ+yBsinθ)2
b2
=1，
整理得，
（
x
2
A
a2
-
y
2
A
b
2
 
）cos2θ+（
x
2
B
a2
-
y
2
B
b2
）sin2θ+2（
xAxB
a2
-
yAyB
b2
）sinθcosθ=1，
则cos2θ+sin2θ+2（
xAxB
a2
-
yAyB
b2
）sinθcosθ=1，
则2（
xAxB
a2
-
yAyB
b2
）sinθcosθ=0，
∵θ是锐角，∴sinθcosθ≠0，
∴
xAxB
a2
-
yAyB
b2
=0，
∴k1•k2=
yAyB
xAxB
=
b2
a2
；为定值．
点评：本题考查了双曲线与直线的位置关系的应用，化简很困难，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0，a≠1，若loga（2x+1）＜loga4，求x的取值范围．
y=
x-4
x-5
的定义域为
 
．
化简：
sin2α
1+tan2α
-
cos2α
1+cot2α
．
已知圆锥的高和底面半径均为1，若过圆锥两条母线的截面为正三角形，求底面圆心到该截面的距离．
若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角为（　　）
A、30°B、150°
C、30°或150°D、以上均错
已知函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a=
 
．
如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知
OB
=2m
OA
+m
OC
，且
AP
=λ
AC
(m，λ∈R)，则实数λ的值为．（　　）
A、
1
3
B、
2
3
C、
1
2
D、
3
4
在△ABC中，已知AB=6，B=60°，cos（B+C）=-
2
7
7
，若D为△ABC外接圆劣弧
A
C
上的动点．
（1）求sinC；
（2）求△ACD的面积的最大值．

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