Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（n∈N^*，p，q为常数），a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记集合M={n|λ≥$\frac{{S}_{n}}{n{a}_{n}}$，n∈N^*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；
（2）把（1）中求得的p，q值代入S_n+1=pS_n+q，取n=n-1得另一递推式，作差后可得数列{a_n}是等比数列，进一步得到通项公式；
（3）求出数列{a_n}的前n项和，代入λ≥$\frac{{S}_{n}}{n{a}_{n}}$，构造函数$f（n）=\frac{{{2^n}-1}}{n}$，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{S_2}=p{a_1}+q\\{S_3}=p{S_2}+q\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}3=2p+q\\ 3+q-3p=3p+q\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}p=\frac{1}{2}\\ q=2\end{array}\right.$；
（2）由（1）知，${S_{n+1}}=\frac{1}{2}{S_n}+2$，①
当n≥2时，${S_n}=\frac{1}{2}{S_{n-1}}+2$，②
①-②，得${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$（n≥2），
又 ${a_2}=\frac{1}{2}{a_1}$，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∴{a_n}的通项公式为${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}$（n∈N^*）；
（3）由${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}$，得${S_n}=4（{1-\frac{1}{2^n}}）$，
得$λ≥\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{n\frac{1}{2^n}}}=\frac{{{2^n}-1}}{n}$，令$f（n）=\frac{{{2^n}-1}}{n}$，
∵$f（{n+1}）-f（n）=\frac{{（{n-1}）{2^n}+1}}{n（n+1）}＞0$，∴f（n）为递增数列，
且$f（1）=1，\;f（2）=\frac{3}{2}，\;f（3）=\frac{7}{3}，\;f（4）=\frac{15}{4}$，
∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即 $λ∈[{\frac{7}{3}，\;\frac{15}{4}}）$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．