Question

5．已知△ABC中，AB=AC=1，且|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，若点P是BC边上的动点，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算表示出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$，根据坐标运算即可求出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范围．

解答 解：△ABC中，AB=AC=1，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则A（0，0），C（1，0），B（0，1），
∵$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，∴E（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
直线BC方程为x+y=1，即x+y-1=0；
设P（x，y），则0≤x≤1，
则$\overrightarrow{AP}$=（x，y），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$（1-x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$；
∵0≤x≤1，∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$；
即$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系使用坐标计算是常用方法．