Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是。