Question

【题目】如图，在长方形中， ， ，现将沿折起，使折到的位置且在面的射影恰好在线段上.

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：(1)先证明平面 ，进而得到平面 ，从而得证；(2) 以为原点，建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式得到结果.

试题解析：

（Ⅰ）由题知平面，又平面，∴；

又且，∴平面；

又平面，∴；

又且，∴平面；

又平面，所以

（Ⅱ）在中， , 由射影定理知， .

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.

则, ， , ， ， ,

设是平面的一个法向量，

则，∴，即，

即，取，所以；

设是平面的一个法向量，

则，∴，即，

即，取，所以；

设锐二面角的大小为，

则

所以锐二面角余弦值为.