Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.

求椭圆的方程；

已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.

试题解析：

解：由可得，，又因为，所以.

所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.

所以，所以，故椭圆方程为.

方法一：设的方程为，联立，

消去得，设点，

有

，

所以令，

有，由

函数，

故函数，在上单调递增，

故，故

当且仅当即时等号成立，

四边形面积的最大值为.

方法二：设的方程为，联立，

消去得，设点，

有

有，

点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

从而四边形的面积

令，

有，

函数，

故函数，在上单调递增，

有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.

方法三：①当的斜率不存在时，

此时，四边形的面积为.

②当的斜率存在时，设为：，

则

，

，

四边形的面积

，

令 则

,

，

，

综上，四边形面积的最大值为.