Question

【题目】已知函数.

（1）若为锐角，， ，求及的值；

（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；

（3）已知，，求及的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解的值；
（2）由余弦函数的有界性求得的值域，再将不等式分离参数，并令，可得对恒成立.易知函数在单调递增，求出其最小值，则可得，从而求得的最大值；
（3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成，再结合，即可求出及的值.

解：（1），且为锐角，

，，

则，

又，为锐角，

，，

；

（2），

对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，

对恒成立，

又函数在单调递增，

当时，，

，则的最大值为；

（3），

即 ，

，

，

，

又，

，

则，

，

即，

，

又，，

.